| <<<<< | <<<<< |
| <<<<< | <<<<< |
Задача 1. Угол АЕВ + угол ВЕС = 180°, поэтому эти углы не могут быть разнымиуглами подобных треугольников АВЕ и ВЕС, то есть они равны и ВЕ - перпендикуляр. Теперь воэможны два варианта: угол АВЕ = углу СВЕ или угол АВЕ = углу ВСЕ. В первом варианте треугольник АВЕ равен треугольнику ВСЕ, поэтому остается второй вариант. В этом случае угол АВС = углу АВЕ + угол СВЕ = угол АВЕ + угол ВАЕ = 90°. В прямоугольном треугольнике АВС катеты относятся как 1/√3 и углы равны 30°, 60° и 90°.
Задача 2. Пусть Тn - минимальное количество перекладываний, необходимых для перемещения n дисков с одного колышка на другой. Переместим n - 1 меньших дисков на любой из колышков, сложив их в нужном порядке. Это потребует Тn-1 переносов. Потом перенесем самый большой диск (1 перекладывание), затем n-1 меньших дисков (Тn-1 перекладываний). Таким образом, за 2Тn-1 + 1 перемещений можно выполнить требуемое и Тn ≤ 2Тn-1 + 1. С другой стороны, для того, чтобы переместить самый большой диск, n-1 дисков должны находиться на одном колышке, (причем они по условию должны распологаться только в правильном порядке), и для этого требуется не мение Тn-1 перемещений, перемещения самого большого диска надо поместить правильно оставшиеся, что требует также Тn-1 перемещений. Поэтому Тn = 2Тn-1 + 1 при n>0. Очевидно, Т0 = 0. Отсюда, Тn + 1 = 2(Тn-1 + 1), Пусть Un = Тn + 1, Тогда Un = 2Un-1 и Un, очевидно, равно 2n и U0 = 1, а Тn = 2n - 1. При n = 6 требуется, таким образом, 63 перемещения.
Задача 3. y = x3 - 6x2 + 12x - 7 = (x - 2)3 + 1. У графика y = x3 центр симетрии - точка (0,0). Данный график получен из него пераллельным переносом и имеет центр симетрии (2,1).
Задача 4. Закрасим полоски, пераллельные стороне длиной 2000 через одну, начиная со второй. Таких полос будет 1000, длина каждой 2000, что дает 2000000 клеток. Покажем, что уменьшить число закрашенных клеток нельзя. Действительно, из такого прямоугольника можно вырезать 1000000 квадратиков 2 на 2, в каждом из которых надо закрасить две клетки.
Задача 5.
Да. Например, 5/6 > 4/5, 2/9 > 1/5. Но
<
