ЗАДАЧА 1.
Если календарный год начался с новолуния, то в какой фазе и в какое время суток будет видна Луна в следующую Новогоднюю ночь?

Решение:
Продолжительность года примем за 365 суток. Период смены лунных фаз составляет в среднем 29.5 суток (может изменяться от 29.25 до 29.83 сут вследствие эллиптичности лунной орбиты).
Тогда: 365/29.5=12.37 (в високосном году будет: 366/29.5=12.41, то есть за год Луна успевает в среднем завершить 12 циклов смены фаз и еще пройти 0.4 от полного цикла).
За один календарный год раница составит: 365-(29.5х12)=365-354=+11 суток.
Так, если год начался с Новолуния (Фаза=0), то в следующую новогоднюю ночь Луна будет в возрасте 0+11=11 суток. В понятиях "возрастов" новолуние – это 0 сут.; первая четверть ~ 7 сут.; полнолуние ~ 14.5 сут. и последняя четверть ~ 22 сут.
Таким образом фаза Луны будет между первой четвертью и полнолунием, чуть ближе к последнему… А сама Луна будет видна в первой половине ночи.

ЗАДАЧА 2.
После наступления темноты путешественник посмотрел на небо и увидел прямо над головой звезду Ригель. Сможет ли он определить направление на север по Полярной звезде? А можно ли определить в какое время года он совершал свое путешествие?

Решение:
Путешественник увидел Ригель прямо над головой (в зените). Т.е. на высоте h=90° над горизонтом. Из формулы высоты светил в кульминации (предварительно найдем в учебнике склонение Ригеля d = -8°15') можно найти географическую широту, на которой Ригель может кульминировать в зените:

Дано:                   Решение:
h = 90°           h = 90° - j + d => j = 90° + d - h
d = -8°15'
j - ?               j = 90° +(-8°15') -90° = -8°15'

Из решения видно, что путешественник находился в южном полушарии (на отрицательной  широте), поэтому определить направление на север по Полярной звезде он не мог. Из текста задачи можно понять, что дело было вечером (после наступления темноты). По подвижной карте звездного неба определяем, что вечером Ригель кульминирует весной.

ЗАДАЧА 3.
Как известно, Луна имеет диаметр 3475 км. и обращается вокруг Земли на среднем расстоянии а= 384400 км. Эксцентриситет орбиты Луны е= 0.05490.
Имеет ли смысл пытаться зафиксировать разницу в максимальном и минимальном видимых размерах Луны с помощью фотоаппарата со штатным телеобъективом МТО-1000 (D=100мм, F=1000мм)?

Решение:
Зная среднее расстояние до Луны а и эксцентриситет лунной орбиты е можно определить минимальное (в перигелии): r_п=a(1-e) и максимальное (в афелии): r_а=a(1+e) расстояния Луны от Земли:
r_п = 384400х0.9451=363296км и r_а  =  384400х1.0549 =405504км
Теперь можно определить максимальный и минимальный видимые угловые диаметры Луны:
tga_п = 3475км/363296км ~ 0.009565. Поскольку угол мал, tga можно приравнять к самому углу a, выраженному в радианах: 0.009565х57.3° ~ 0.5481° или 32'.9.
Аналогично: tgaа = 3475км/405504км ~ 0.00857, или 0.491°, или 29'.5.
Иначе говоря, разница между минимальным и максимальным видимыми (угловыми) диаметрами Луны составляет около: 32.9 - 29.4 = 3.4 угловой минуты.
Масштаб изображения объекта при фотографировании зависит только от фокусного расстояния объектива ab=Fa .
В нашем случае (F=1000мм) при минимальном расстоянии между Землей и Луной размер последней на негативе будет: ab_max = 1000мм х (0.5481°/57.3°) = 9.57мм.;
Аналогично: ab_min = 1000мм х (0.491°/57.3°) = 8.57мм.;
В общем, так или иначе, размеры Луны на негативах будут отличаться на целый миллиметр, что вполне сравнимо с размерами самого негатива (24х36мм). Даже при обычной печати с 4-5 кратным увеличением (формат фото 10х15см или 13х18см) разница в размерах будет заметна с первого взгляда (4-5 мм)…Диаметр объектива для решения не нужен.

ЗАДАЧА 4.
14 декабря этого года на значительной территории России можно будет наблюдать покрытие Венеры Луной. Попробуйте детально описать, как происходят подобные явления (как могут выглядеть Луна и Венера, как происходит покрытие и сколько оно может длиться…)?
Какие уточнения вы можете внести относительно условий видимости покрытия Венеры Луной 14 декабря, если в этот же день, спустя чуть более полусуток, будет наблюдаться солнечное затмение?

Решение:
Задача на набор баллов. Вопросов много, и каждый правильный ответ оценивается.
Очевидно, что и Луна, и Венера, в момент покрытия обычно видны в виде серпиков… Вечером темный край Луны касается светлого края Венеры, а утром – наоборот. Луна движется по небу справа-налево со скоростью около 1'' за 2 временных секунды. Поэтому в любом случае происходит покрытие левым краем лунного диска. Поскольку угловые размеры обоих светил меняются (см. напр. задачу 3), то и общая продолжительность явления покрытия Венеры Луной будет меняться. В более глубоком решении можно даже учитывать угловые скорости движения светил. Но, в первом приближении покрытие может длиться от долей секунды (верхним или нижним краем Луны) до около 1 часа (точно по диаметру Луны). И т.д…
Уточнение может заключаться в том, что покрытие 14 декабря 2001 года будет наблюдаться на дневном небе (в телескоп Венеру можно наблюдать и днем)…

ЗАДАЧА 5.
15 декабря этого года ожидается очень тесное сближение с Землей (до 2-х млн.км.)  астероида 1998WT24. Известно, что орбита астероида представляет собой эллипс (е=0.4182) с большой полуосью а=0.71807 а.е. Попробуйте нарисовать на одном листе орбиту Земли и орбиту астероида. Когда можно ожидать их следующего сближения? Попробуйте оценить видимый блеск астероида в момент наибольшего сближения, если его абсолютная звездная величина оценивается как 17.65m (такую видимую звездную величину он должен иметь, находясь на стандартных расстояниях в 1 а.е. и от Земли, и от Солнца).

Решение:
По аналогии с задачей 3 можно вычислить, что астероид движется по эллиптической орбите с минимальным и максимальным расстояниями от Солнца:  r_п = a(1-e) и r_а = a(1+e) соответственно. Только в данном случае движение происходит вокруг Солнца, а не вокруг Земли. В числах это будет:
r_п=a(1-e) = 0.71807х0.5818 = 0.418 а.е. и r_а=a(1+e) = 0.71807х1.4182 = 1.02 а.е.
Как видим, в перигелии астероид приближается к Солнцу почти до орбиты Меркурия, а в афелии – удаляется до орбиты Земли. Именно такой эллипс (орбиту) и надо нарисовать...
Из третьего закона Кеплера T²/Tз²=a³/aз³ можно получить период обращения астероида по орбите (Tз и  aз примем за 1 год и 1 а.е.). Подставляя а=0.71807 а.е., получим Т=0.608~0.61 года. Для определения даты возможного следующего тесного сближения астероида с Землей мы должны найти наименьшее целое число, которое будет без остатка делиться и на период обращения Земли (1 год), и на период обращения астероида (0.61 года). Будем считать приблизительно, потому что в точных рассчетах следовало бы учесть и отличие орбиты Земли от окружности, и неравномерность движения тел (особенно астероида) по их орбитам. Можно увидеть, что одним из возможных решений будет интервал в 3 года (3 оборота Земли и 5 оборотов астеорида). Значит можно предположить, что следующее тесное сближение состоится в 2004 году… Попытка вычислить и применить в этом случае значение синодического периода астероида, как предлагали некоторые учащиеся, не проходит…
Оценить видимый блеск астероида в момент наибольшего сближения можно так:
В районе орбиты Земли расстояние малой планеты от Солнца близко к 1.а.е. и основной выигрыш в блеске будет за счет близости астероида к Земле! Несложно посчитать, что это расстояние будет в 150млн.км/2млн.км ~ 75 раз ближе нормального. Площадь видимой поверхности астероида (и соответственно его блеск) увеличится в 75х75=5625 раз.
Из определения звездных величин найдем: 2.512ⁿ=5625; логарифмируя имеем 0.4n=lg5625.
Откуда n~2.5x3.75~9.38 звездной величины. Таким образом, можно ожидать, что при идеальных условиях (когда вся видимая с Земли поверхность астероида будет освещена солнечными лучами) его блеск может достичь 17.65-9.38~8.3 звездной величины, что доступно даже небольшому биноклю!
На самом деле, уточненная абсолютная величина астероида на 0.3m слабее, плюс не вся его видимая поверхность будет освещена (эффект сходный с фазами Луны). И ожидаемый блеск 1998WT24 составит около 9m, что тоже уникально высокое значение для малой планеты, даже еще не успевшей получить постоянного порядкового номера в астрономических каталогах… Ведь на короткое время этот небесный странник станет вторым по яркости астероидом всего звездного неба, уступая в блеске только ярчайшей из малых планет - Весте!