E-mail олимпиада - 1999/2000

Задания

1 тур | 2 тур | 3 тур

1. (7 класс) Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 сольдо, без второго - 85, без третьего - 80, без четвертого - 75 сольдо. Сколько у кого денег?
2. (7 класс) Оксана Николаевна сложила в стопку несколько треугольников, в углах которых написаны числа 1, 2 и 3. Может ли сумма чисел в каждом углу стопки оказаться 55?
3. (7 класс) Цена билета на стадион 180 рублей. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25% . Сколько стоит билет после снижения?
4. (7-8 класс) Совхоз "Пригородный" выращивает овощи три года, используя при этом ежегодно 520 гектаров своих угодий. Каждый год территория, отводимая на выращивание картофеля, была различной и составляла соответственно 400, 380 и 440 гектаров. Общая площадь, используемая под картофель и в первый и во второй год, составляла 320 гектаров, во второй и третий год - 350 гектаров, а в первый и в третий год - 360. Причем площадь 40 гектаров не была использована ни в один из этих трех лет. Какую площадь занимает территория, на которой выращивался картофель в каждой из трех последних лет?
5. (7-8 класс) На хорде АВ окружности с центром в т.О взята точка С. D - вторая точка пересечения данной окружности с окружностью, описанной около DАСО. Доказать, что СD=СВ.
6. (8-9 класс) Каждый из семи мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к киоску мороженого. Известно, что каждые два их них встречались около киоска. Докажите, что в некоторый момент там встретились одновременно трое мальчиков.
7. (8-9 класс) Биссектрисы ВD и СЕ DАВС пересекаются в точке О. Докажите, что если ОD=ОЕ, то либо треугольник равнобедренный, либо угол при вершине А равен 60°.
8. (8-9 класс) Найти все решения системы уравнений:
   (x+y)³=z
   (y+z)³=x
   (z+x)³=y
9. (9 класс) Через центр окружности w₁ проведена окружность w₂; А и В - точки пересечения окружностей. Касательная к окружности w₂ в точке В пересекает окружность w₁ в точке С. Докажите, что АВ=ВС.
10. (9 класс) Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков и т.д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?

1. (7 класс) Решите ребус: НИКЕЛЬ*6=ЕЛЬНИК (3 балла)
2. (7 класс) Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше? (3 балла)
3. (7 класс) У крестьянина была коза, корова и кобыла, а еще стог сена. Сын крестьянина подсчитал, что этого сена хватит, чтобы кормить козу и кобылу 1 месяц, или козу и корову 3/4 месяца, или же корову и кобылу 1/3 месяца. В ответ на это отец заметил, что сын плохо учился в школе. Прав ли он? (3 балла)
4. (7-8 класс) Из 20 монет достоинством в 5, 20 и 50 рублей составьте набор в 500 рублей. (4 балла)
5. (7-8 класс) Существует ли такой четырехугольник, что любую его вершину можно перенести в новое место, получив четырехугольник, равный исходному? (4 балла)
6. (8-9 класс) Продолжите последовательность: 2, 9, 10, 12, 19, 20, 21, : (4 балла)
7. (8-9 класс) Ваня Суеверов очень не любит число 13-"чертову дюжину", ему не нравится не только само число 13 и числа, делящиеся на 13, но и такие двузначные числа, которые станут делиться на 13, если изменить одну из цифр. На крючке с какими номерами предпочитает вешать свою одежду в гардеробе Ваня? (4 балла)
8. (8-9 класс) На доске написаны два одинаковых двузначных числа. У одному из них слева приписали 100, а к другому - справа 1, в результате чего первое стало в 37 раз больше второго. Какие числа были написаны на доске? (4 балла)
9. (9 класс) Антиквар приобрел 99 одинаковых по виду старинных монет. Ему сообщили, что ровно одна из монет фальшивая - легче настоящих (а настоящие весят одинаково). Как, используя чашечные весы без гирь, за 7 взвешиваний выявить фальшивую монету, если антиквар не разрешает никакую монету взвешивать более двух раз? (5 баллов)
10. (9 класс) Рассмотрим число, записываемое n девятками. Чему равна сумма цифр куба этого числа?

1. (7 класс) Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном ее конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?(3 балла)
2. (7 класс) Восстановите недостающие цифры в таком примере деления (3 балла): _*2*5* 325 *** 1** _*0** *9** _*5* *5* 0
3. (7-8 класс) Напишите, какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел. (4 балла)
4. (7-8 класс) Двое отцов подарили сыновьям деньги. Один дал своему сыну 150 руб., другой своему - 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить? (4 балла)
5. (7-8 класс) Число КУБ является кубом целого числа, а число БУК - простое. Какие это числа? (4 балла)
6. (8-9 класс) Толя и Сережа прыгнули с берега в воду и поплыли к острову. Сергей проплыл 40 метров, когда Толя выбирался на берег острова. Правда, Толя тут же поплыл обратно и встретил Сергея в тот момент, когда он проплыл еще 8 метров. Сколько метров от берега до острова? (5 баллов)
7. (8-9 класс) Решите арифметический ребус: КР***УГ = КРУГ2. Замените буквы цифрами так, чтобы равенство оказалось верным. Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным - разные. (5 баллов)
8. (9 класс) Трое братьев вскапывали огород. После работы их встретил отец. - Много ли вскопал? - спросил он у старшего брата. - Один из нас вскопал вдвое больше, чем остальные вместе. - Не ты ли так поусердствовал? - спросил отец у среднего брата. - Нет, не я. Вот если бы я вскопал столько же, сколько мои братья вместе, то огород был бы уже вскопан. - А много ли осталось? - спросил отец у младшего брата. - Ровно столько, сколько вскопал один из моих братьев, - ответил тот. Какую часть огорода вскопал каждый из братьев? (5 баллов)
9. (9 класс) Два квадрата со сторонами а и b расположены так, как показано на рисунке. Найдите отношение площади заштрихованного четырехугольника, образованного при соединении двух вершин этих квадратов, к площади большего квадрата (5 баллов)
10. (9 класс) На каждом из квадратиков "кубика Рубика" сидит по муравью. В некоторый момент все муравьи поползли - каждый в один из квадратиков, соседних (по стороне) с тем, в котором он находился до этого, при этом никакие два муравья не поменялись местами. Могло ли случиться, что в каждом квадратике снова оказалось по одному муравью? (5 баллов)