5-6 класс

1. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенно е на 12. Что окажется на доске через час? Не забудьте обосновать ответ.
2. Расставьте крестики и нолики в квадрате 5х5 клеток так, чтобы в каждой строке, кроме, может быть, первой, крестиков было бы больше, чем ноликов, а в каждом столбце, кроме, быть может, последнего, ноликов было бы больше, чем крестиков.

7-8 класс

1. На плоскости расположен квадрат, и невидимыми чернилами нанесена точка Р. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, он отвечает на вопрос, по какую сторону отнее лежит точка Р. (Если Р лежит на прямой, то он говорит, что Р лежит на прямой). Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы указать, лежит ли точка Р внутри квадрата?
2. Можно ли подобрать такие четыре различных натуральных числа, чтобы сумма любых двух из них была степенью числа 5.

9-10 класс

1. На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадут с тремя из сосен, а вершины другого - с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечение высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придется опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?
2. Из множества натуральных чисел от 1 до 1000 выбрано 860 чисел. Докажите, что произведение каких - то двух из них делится на 21.