6(№1-5) и 7(№6-10) классы

На островах архипелага Вероятности (не ищите его на своих картах - если только там не указан океан Бесконечности) раскинулось королевство Аксиом. В этом королевстве существует закон: всякому узнику, осужденному на смертную казнь, дается последний шанс выкарабкаться. Каким образом? Ему предлагается угадать в какой из комнат находится тигр, а в какой принцесса. Если узник откроет одну дверь, то его (вполне возможно) растерзает тигр, но если другую - то принцесса . . . может стать его невестой.
Попробуй и ты "угадать" в какой из комнат сидит принцесса. Объясни, почему ты так считаешь.

• Испытание № 1. Известно, что на одной двери утверждение ложно, на другой истинно.

• Испытание № 2. Известно, что утверждения на обеих табличках либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

• Испытание № 3. Известно, что утверждения на обеих табличках либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

1 Либо в этой комнате сидит тигр, либо принцесса находится в другой комнате.

2 Принцесса в другой комнате.

Испытание № 4. Известно, что в первой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке первой двери - истинно. Если тигр - ложно.
Со второй комнатой все наооборот: утверждение на табличке ложно, если в комнате находится принцесса, истинно, если в комнате сидит тигр.

1 В обеих комнатах находятся принцессы.

2 В обеих комнатах находятся принцессы.

Испытание № 5. Известно, что в первой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке первой двери - истинно. Если тигр - ложно.
Со второй комнатой все наооборот: утверждение на табличке ложно, если в комнате находится принцесса, истинно, если в комнате сидит тигр.

1 По крайней мере в одной из комнат находится принцесса.

2 Принцесса в другой комнате.

Испытание № 6. Известно, что в первой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке первой двери - истинно. Если тигр - ложно.
Со второй комнатой все наооборот: утверждение на табличке ложно, если в комнате находится принцесса, истинно, если в комнате сидит тигр.

1 Что ни выберешь - все едино.

2 Принцесса в другой комнате.

Испытание № 7. Известно, что в первой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке первой двери - истинно. Если тигр - ложно.
Со второй комнатой все наооборот: утверждение на табличке ложно, если в комнате находится принцесса, истинно, если в комнате сидит тигр.

1 Что выбирать - большая разница.

2 Лучше выбрать другую комнату.

Испытание № 8. Условие этой задачи сложнее. Король Аксиом I таблички написал, но на двери решил не вешать. Сказал только, что если принцесса в 1-ой комнате, то утверждение на табличке 1-ой комнаты истинно. Если тигр - ложно.
Со второй комнатой все наооборот.

По крайней мере в одной из комнат находится принцесса. Табличка

Принцесса в другой комнате. Табличка

1-ая дверь

2-ая дверь

Испытание № 9. Известно, что в одной из комнат сидит принцесса, а в двух других - тигры.
Также известно, что по крайней мере одно утверждение истинно.

1 В этой комнате сидит тигр.

2 В этой комнате сидит принцесса.

3 Тигр сидит в комнате 2.

Испытание № 10. Известно, что табличка на двери за которой находится принцесса говорит правду, а из двух других надписей по меньшей мере одна является ошибочной.

1 Тигр сидит в комнате 2.

2 Тигр сидит в этой комнате.

3 Тигр сидит в комнате 1.

8 класс

---

1. Существует очень простой прием для устного быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5. Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее целое число и к произведению приписать 25. Например, 35² = 1225, 85² = 7225. Объясните, почему так получается.
2. Найти число, которое, будучи разделено на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.
3. Можно ли разрезать ножом (по прямой) прямоугольный торт размером 8 x 28 см на два куска так, чтобы они поместились в круглой коробке радиуса 10 см? (Куски торта должны лежать на дне коробки, не налегая друг на друга).
4. Тома детской энциклопедии стоят в таком порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11. С ними разрешается проделать следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало и в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трех томов. Докажите, что повторив несколько раз эту операцию, можно поставить тома в порядке возрастания номеров.
5. Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.

9 класс

---

1. Можно ли разрезать ножом (по прямой) прямоугольный торт размером 8 х 28 см на два куска так, чтобы они поместились в круглой коробке радиуса 10 см? (Куски торта должны лежать на дне коробки, не налегая друг на друга).
2. Имеет ли уравнение 19x² - 76y² = 1976 решение в целых числах?
3. Тома детской энциклопедии стоят в таком порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 11. С ними разрешается проделать следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало и в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трех томов. Докажите, что повторив несколько раз эту операцию, можно поставить тома в порядке возрастания номеров.
4. Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.
5. Масса ста гирек, сваленных в одну кучку, составляет 500 г. Известно, что имеются только гирьки в 1 г, в 10 г и в 50 г. Сколько в кучке гирек каждой массы?

10 класс

---

1. Найти sin(arccos(-3/5)).
2. Решите неравенство 3tg(2x) >= -1.
3. Вычислить sin(2a), если sin(a) - cos(a) = 1/2.
4. Решить уравнение (sin(x))⁴ + (cos(x))⁴ = 5/8.
5. Решить уравнение arccos(x) = 2arcsin(x).

11 класс

---

1. Для функции f(x) = 2cos(3x) - 3sin(4x) найти первообразную F(x), удовлетворяющую условию F(pi/2) = 1.
2. Найти неопределенный интеграл от функции f(x) = x² + 3sin(2x).
3. Вычислить определенный интеграл от функции f(x) = x + 1, если нижний предел а = 2, а верхний предел b = 3.
4. Пусть функция F(x) является первообразной для некоторой четной функции f(x) (x принадлежит множеству действительных чисел). Является ли нечетной функция F(x)?
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = x³, y = 1, x = 3.