Условия задач
10 класс
- Четыре последовательных натуральных числа разбиты
на две группы по два числа. Известно, что произведение чисел одной группы
на 1995 больше, чем произведение чисел другой группы. Найти эти числа.
- Уравнение x2 + bx + c = 0 имеет
два различных корня x1 и x2. Известно
также, что числа b, x1, c, x2 в указанном
порядке образуют арифметическую прогрессию. Найти разность этой прогрессии.
11 класс
- Решите уравнение (x2 - 3)3 - (4x + 6)3
+ 216 = 18(4x + 6)(3 - x2).
- Найти значения параметра а, при которых уравнение x3
+ x2 = a имеет три корня, образующие арифметическую прогрессию.
Решение и ответы
10 класс
- Заметим, что если в обеих группах есть по четному числу, то оба произведения
четны, их разность четна, и не может равняться 1995. Поэтому в одной
группе четные, в другой нечетные числа. Пусть эти числа - n - 1, n,
n + 1, n + 2. Произведение в одной группе равно П1 =
(n-1)(n+1) = n2 - 1, в другой - П2 = n(n+2)
= n2 + 2n. Так как n принадлежит N,
то 2n > -1. Следовательно 1995 = (n2 + 2n) - (n2
- 1) = = 2n + 1, отсюда n = 997. Поэтому искомые числа -
996, 997, 998, 999.
- Раз х1 и х2 - корни уравнения
х2 + bx + c = 0, то по теореме Виета b = -x1
- x2, c = x1 * x2. Следовательно,
числа a1 = -x1 - x2, a2
= x1, a3 = x1 * x2, a4
= x2 образуют арифметическую прогрессию с разностью d
= a2 - a1 = 2 * x1 + x2;
значит a4 = a2 + 2 * d = x1 + 2 * (2
* x1 + x2) = 5 * x1 + 2 *x2=x2
Поэтому имеем: х2 = -5 * х1. Но тогда
a3 = -5 * x12; d = -3 * x1;
a3 = a2 + d = x1 - 3 * x1 =
-2 * x1 = -5 * x12. Следовательно,
2 * x1 = 5 * x12, что равносильно
x1 = 0 и x1 = 2/5. При x1
= 0 получаем x2 =
= -5 * 0 = 0; но x1 < > x2 по условию.
Противоречие. При x1 = 2/5, получаем x2
= -5 * 2/5 = -2; значит x1 < > x2
и d = -3 * 2/5 = -6/5.
11 класс
- Введем обозначения: x2 - 3 = a, -4x - 6 = b, 6 = c.
Уравнение примет вид а3 + b3 + c3 -
3abc = 0. Но, как легко проверить, a3 + b3
+ c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2
- ab - bc - ac) = (a + b + c)(((a - b)2 + (a - c)2
+ (b - c)2)2)/2 = 0. Поэтому, либо a + b +
c = 0, либо a - b = a - c = b - c = 0. Условие a + + b +
c = 0 приводит к уравнению x2 - 3 - 4x - 6 + 6 = 0,
корни которого x1 = 2 + sqr(7), x2 = 2 - sqr(7).
При одновременном выполнении трех условий: a - b = a - c = b - c = 0
получаем систему: x2 + 4x +
+ 3 = 0; x2 = 9 - 4x = 12 которая имеет единственное решение
x3 = -3.
- Пусть x1, x2, x3 - корни данного
уравнения. Тогда, приравнивая после раскрытия скобок коэффициенты при одинаковых
степенях x многочленов (x - x1)(x - x2)(x
- x3) и x3 - x2 - a, получим,
что x1 + x2 + x3 = -1 (часть теоремы
Виета для кубического уравнения). Если d - разность прогрессии,
которую составляют числа x1, x2, x3
, то x1 + x2 + x3= (x2
- d) + x2 + (x2 + d) = 3 * x2. Значит,
3 * x2 = -1 и x2 = -1/3. Подставляя
x = -1/3 в данное уравнение, получим a = 2/27. Далее нужно проверить,
что при a = 2/27 условие выполняется. Таким образом, ответ: a=2/27.